Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
* * *
компанией ЛитРес .
5. Пара сил. Момент силы
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направленных в разные стороны.
Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом. Силы, входящие в пару, не уравновешиваются, так как они приложены к двум точкам.
Действие этих сил на тело не может быть заменено одной равнодействующей силой.
Момент пары сил численно равен произведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил плеча пары .
Момент считается положительным, если пара вращает тело по часовой стрелке.
M (f,f ") = Fa; M > 0.
Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.
Свойства пар сил.
1. Пару сил можно перемещать в плоскости ее действия.
2. Эквивалентность пар. Две пары, моменты которых равны, эквивалентны (действие их на тело аналогично).
3. Сложение пар сил. Систему пар сил можно заменить равнодействующей парой.
Момент равнодействующей пары равен алгебраической сумме моментов пар, составляющих систему:
M Σ = F 1 a 1 + F 2 a 2 + F 3 a 3 + … + F n a 1 ;
Равновесие пар. Для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов пар системы равнялась нулю:
Момент силы относительно точки. Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вращение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом.
Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля силы на расстояние от точки до линии действия силы. Перпендикуляр, опущенный из точки на линию действия силы, называется плечом силы .
Момент обозначается:
M O = (F ) или m O (F).
Момент считается положительным, если сила разворачивается по часовой стрелке.
* * *
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка (Аурика Луковкина, 2009) предоставлен нашим книжным партнёром -
Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмотрении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каждой из пар необходимо будет задать все эти три элемента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствующим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, модуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).
Рис. 38
Как известно модуль момента пары равен моменту одной из ее сил относительно точки, где приложена другая сила, т. е. ; по направлению же векторы этих моментов совпадают. Следовательно .
Момент силы относительно оси.
Чтобы перейти к решению задач статики для случая произвольной пространственной системы сил, необходимо ввести еще понятие о моменте силы относительно оси.
Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг некоторой оси z (рис. 39).
Рис.39
Пусть на это тело действует сила ,приложенная в точке А . Проведем через точку А плоскость ху , перпендикулярную оси z, и разложим силу на составляющие: , параллельную осиz, и , лежащую в плоскости ху ( является одновременно проекцией силы на плоскости ху ). Сила , направленная параллельно оси z , очевидно, не может повернуть тело вокруг этой оси (она только стремится сдвинуть тело вдоль оси z ). Весь вращательный эффект, создаваемый силой , будет совпадать с вращательным эффектом ее составляющей . Отсюда заключаем, что , где символ обозначает момент силы относительно оси z .
Для силы же , лежащей в плоскости, перпендикулярной к оси z , вращательный эффект измеряется произведением модуля этой силы на ее расстояние h от оси. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки О , в которой ось z пересекается с плоскостью xу . Следовательно, или, согласно предыдущему равенству,
В результате приходим к следующему определению: моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.
Из чертежа (рис.40) видно, что при вычислении момента плоскость ху можно проводить через любую точку оcи z . Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси z (рис. 40) надо:
1) провести плоскость ху , перпендикулярную к оси z (в любом месте);
2) спроектировать силу на эту плоскость и вычислить величину ;
3) опустить из точки О пересечения оси с плоскостью перпендикуляр на направление и найти его длину h ;
4) вычислить произведение ;
5) определить знак момента.
При вычислении моментов надо иметь в виду следующие частные случаи:
1) Если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю (так как F xy =0).
2) Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент относительно оси также равен нулю (так как h = 0).
Две силы, равные по величине, параллельные между собой, направленные в противоположные стороны, но не лежащие на одной прямой представляют собой пару сил.
Под действием пары сил тело получает вращательное движение, которое характеризуется моментом.
Моментом пары сил наз. произведение модуля одного из векторов сил на плечо.
Плечо – кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары (перпендикуляр между л. д. с.).
М = ± F а (кН м)
Основные свойства пары сил:
1. Действие пары сил на тело определяется только моментом, т. е. можно менять величину сил пары, их плечо, при условии, что момент останется без изменения.
2. Две пары считаются эквивалентными, если они оказывают одинаковое действие на тело.
3. Действие пары сил на тело не определяется точкой приложения.
4. Проекции пары сил на любую ось равна нулю.
Сложение пары сил и условия равновесия плоской системы пар.
М = å Мi – момент равнодействующей пары сил равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.
Для аналитического условия равновесия пар сил на плоскости необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов составляющих пар равнялась нулю.
å Мi = 0 – условие равновесия пар.
Для равновесия тела под действием двух пар сил необходимо и достаточно, чтобы моменты этих пар были равны по величине и противоположны по направлению.
Следовательно, эти пары будут находиться в равновесии.
Моменты сил относительно точки. Знак момента, условие равенства нулю.
Произведение величины силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на л. д. с., взятая со знаком «+», или «-», наз. моментом силы относительно точки.
По часовой стрелке «+», против «-».
Точка 0 наз. центром момента.
Момент силы относительно точки равен 0, т. е. проходит через точку.
М гл. = å М0(Fi) – главный момент – это алгебраическая сумма моментов заданных сил относительно центра приведения 0.
R гл. а = М гл. следовательно, М (R) = å М (Fi) – теорема Вариньона.
Из определения момента силы относительно точки:
1. Момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы по линии ее действия.
2. Если центр момента точка 0 перемещается по прямой – параллельной л. д. с., то момент силы остается без изменения.
3. Момент силы относительно точки равен нулю, если эта точка лежит на л. д. с..
4. Алгебраическая сумма моментов сил составляющих пару, относительно любой точки плоскости, есть величина постоянная и равная моменту пары.
Частные случаи:
1. R гл. ¹ 0, М гл. = 0 – система приводится к равнодействующей, результирующая пара отсутствует.
2. R гл. = 0, М гл. ¹ 0– система равнодействующей не имеет, данная сила приводится к паре сил с момента.
3. R гл. = 0, М гл. = 0 – система находится в равновесии.
Уравнения равновесия плоской системы произвольно расположенных сил (3 вида).
Плоская система произвольно расположенных сил в общем виде приводится к главному виду и к главному моменту.
Rгл. = (å Fix) 2 + (å Fiy) 2 (под корнем)
Мгл. = å М 0 (Fi)
Если система находится в равновесии, то гл. вектор и гл. момент равен нулю.
0 = (å Fix) 2 + (å Fiy) 2 (под корнем)
å Fix = 0 å Ма (Fi) = 0 å Ма (Fi) = 0
å Fiy = 0 å Мб (Fi) = 0 å Мб (Fi) = 0
å М 0 (Fi) = 0 å Fiy = 0 å Мс (Fi) = 0
Для параллельных на плоскости 2 вида уравнения равновесия.
å Fiy = 0 ; å М 0 (Fi) = 0
å Ма = 0; å Мб = 0
Классификация нагрузок – сосредоточенные силы, сосредоточенные пары (моменты). Распределение нагрузки и их интенсивность.
Виды нагрузок: сосредоточенная сила, распределенная нагрузка, момент
q – интенсивность распределенной нагрузки.
Распределенная нагрузка может быть по площаде и по объему.
Пространственная система произвольно расположенных сил. Уравнение равновесия.
Для равновесия свободного твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно любой точки были равны нулю.
Fгл. = å n k = 1 Fk=0 Мгл. Fk
Главный вектор Fгл произвольной пространственной системы сил будет являться замыкающим вектором силового многоугольника (пространственного, а не плоского), а его величина будет равна геометрической сумме всех сил системы:
Fгл. = å n k = 1 Fk
В случае произвольной пространственной системы главный момент равен геометрической, а не алгебраической сумме моментов всех ее сил относительно точки С.
Мс = М1 + М2 + … Мn = å n k = 1 Мс Fk
Момент силы относительно оси, его знак и условие равенства нулю.
Момент силы относительно оси характеризуется вращательным эффектом, создаваемым силой, определяющейся повернуть тело вокруг данной оси.
Момент силы относительно оси будет равен моменту проекции этой силы на плоскости, перпендикулярную к данной оси, относительно точки их пересечения.
Мz (F) = M 0 (Fxy) = ±Fxy h = ± F h cos a.
Запишем момент силы относительно точки 0.
М 0 (Fxy)= ± Fxyh.
Свойства момента силы относительно оси:
1. Момент силы относительно оси не зависит от выбора точки 0 на оси z, через которую проводится плоскость 0 xy; это следует непосредственно из определения.
2. Момент силы относительно оси не зависит от положения силы на ее линии действия, т.к. при изменении точки приложения силы ее проекция и плечо проекции остаются постоянными.
3. Момент силы относительно оси равен нулю тогда, когда линия действия силы и ось лежат в одной плоскости. При этом возможны 2 случая:
1) Сила параллельна оси. Мz (F) = ± Fh cos a = 0, т.к. cos a = 0;
2) Линия действия силы пересекает ось. Тогда Мz(F) = ± F h cos a = 0, т.к. h = 0.
Центр параллельных сил, его свойства. Формула для определения центра параллельных сил. Формулы для определения координат ц.т. сложных фигур(совокупность фигур)
Точка С делит отрезок АВ на части обратно пропорциональные силам.
F1/F2=CB/AC/AC/CB=F2/F1
При повороте сил на угол а равнодействующая повернется на тот же угол, а центр С не изменится.
(рисунок) Взяв моменты сил относительно у, пользуемся теоремой Вариньона: M(R) =å M (Fi)
Rxc = -F1x1 – F2x2 – F3x3
Xc= F1x1+F2x2+F3x3/R
Xc= F1x1+F2x2+F3x3/ F1+F2+F3
Аналогично, моменты сил относительно х, находим ус.
Yc=å Fiyi/å Fi; Zc=å Fizi/å Fi
ÑG – элементарная сила тяжести.
G=å ÑGi, следовательно:центр тяжести определяется по формулам:
Yc=å Giyi/å Gi; Zc=å Gizi/å Gi; Xc=å Gixi/å Gi
Если необходимо определить центр тяжести контура мат. линии. В формулы подставляем li.Например:Xc= å lixi/å li и во все остальные.
Если необходимо определить центр тяжести объема, то в формулу подставляем Vi: Xc=å Vixi/å Vi
Центр тяжести плоских фигур.
Под центром тяжести площади плоских фигур будем понимать ц.т. однородной пластинки постоянной толщины, имеющей очертание данной плоской фигуры.
На положение ц.т. плоских фигур оказывает влияние формула этой фигуры и ц.т. определяется по формулам:
Ai – плоўадь фігуры.
Замечание:
1. Если фигура имеет ось симметрии, то ц.т. будет на оси симметрии.
2. Если фигура имеет 2 оси симметрии, то ц.т. совпадает с точкой пересечения осей.
Ц.т. простейших геометрических фигур.
A 0 =pd 2 / 2; A=pr 2 / 2
Ц.т. площадей правильных многоугольников совпадает с их геометрическим центром.
При определении ц.т. сложных фигур их разбивают на простые, а если фигура имеет отверстие не материальное тело, то площадь его вычитается.
Определение ц.т. сечений составленных из стандартных профилей.
На строительной площадке сталь поступает в виде листов, полос, уголков, балок и т.д.
Элементы металлических конструкций имеют различные профили и размеры поперечных сечений, которые объединены сортами прокатной стали.
Соединяют профильную сталь в разнообразные строительные конструкции при помощи сварки и заклепок:
1. Листовой прокат включает толстолистовую сталь толщиной до 60 мм, тонколистовую и оцинкованную толщиной от 0,4 – 0,8 мм.
2. Полосовая сталь шириной от 12 до 200 мм, полосовая и листовая сталь имеют прямоугольное поперечное сечение. Используются для изготовления резервуаров, фасонок ферм, устройства покрытий для изготовления сварных балок и колонок.
Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары.
Свойства
Иллюстрация. Синим цветом показано твёрдое тело.
Действие пары сил на тело характеризуется моментом пары сил - произведением модуля одной из сил на плечо, . Как и любой механический момент, момент пары сил является псевдовекторной величиной и направлен перпендикулярно плоскости, заданной параллельными прямыми, на которых лежат векторы сил: (при этом направление вектора плеча условно следует задавать в сторону к точке приложения выбранной из пары силы ).
Момент пары сил не имеет точки приложения (Вторая теорема Вариньона): к каким бы частям твёрдого тела ни прикладывались силы, при данных величине и направлении момента сил вращаться оно будет одинаково.
Действие силы, приложенной к твёрдому телу на некотором расстоянии d от центра масс (в точке, в которую из центра масс можно провести вектор ), эквивалентно дествию такой же силы, приложенной непосредственно к центру масс, комбинированной с некоторой парой сил, такой, что , то есть с моментом, равным моменту силы относительно центра масс (в частности, если , можем задаться , в таком случае одна из сил будет приложена в той же точке, что и исходная, и составит ).
Источники
- // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : В 86 томах (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.
- - статья из Физического энциклопедического словаря (1983)
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Пара сил" в других словарях:
Большой Энциклопедический словарь
Система двух сил Р и Р, действующих на тв. тело, равных по абс. величине и направленных параллельно, но в противоположные стороны, т. е. Р = Р. П. с. не имеет равнодействующей, т. е. её нельзя заменить (а следовательно, и уравновесить) одной… … Физическая энциклопедия
Две равные и параллельные силы, направленные в противоположные стороны. П. С., действующая на какое нибудь тело, вызывает вращение этого тела вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой находится пара сил. Самойлов К. И. Морской словарь.… … Морской словарь
пара сил - пара сил; пара Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в противоположные стороны … Политехнический терминологический толковый словарь
ПАРА СИЛ - две равные по абсолютному значению и противоположно направленные параллельные силы, приложенные к одному твёрдому телу. П. с. стремится вызвать вращение тела, к которому она приложена, и не имеет (см.) силы. Расстояние между линиями действия П. с … Большая политехническая энциклопедия
ПАРА СИЛ, две равных и противоположно направленных параллельных силы. Их действие приводит к возникновению вращательного момента … Научно-технический энциклопедический словарь
пара сил - Две компланарные параллельные силы, равные по величине и противоположные по направлению, приложенные к твёрдому телу на некотором расстоянии друг от друга [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] EN couple… … Справочник технического переводчика
Две равные по величине и противоположные по направлению параллельные силы, приложенные к одному телу. Пара сил не имеет равнодействующей. Кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару сил, называют плечом пары. Действие пары… … Энциклопедический словарь
Система двух сил P и P , действующих на твёрдое тело, равных друг другу по абсолютной величине, параллельных и направленных в противоположные стороны (т. е. P = P; см. рис.). П. с. не имеет равнодействующей, т. е. её действие на тело не… … Большая советская энциклопедия
Две равные по а6с. значению (модулю) и противоположные по направлению параллельные силы F и F (см. рис). прилож. к одному и тому же твёрдому телу. Кратчайшее расстояние l между линиями действия сил пары наз. её плечом. П. с. стремится вызвать… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Пару сил в механике рассматривают как одно из основных понятий, наряду с понятием силы.
Пара сил – система двух параллельных, противоположно направленных и равных по модулю сил, не лежащих на одной прямой.
Плоскость действия пары сил – плоскость, в которой находятся линии действия сил.
Плечо пары сил – кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) между линиями действия сил, составляющих пару сил.
На рис. 1.34 изображена пара сил, плоскость действия которой лежит в плоскости OXY системы отсчёта OXY.
Силы F 1 , F 2 образуют пару сил. F 1 = F 2 ; F 1 = – F 2 . Однако силы пары не уравновешиваются, так как они направлены не по одной прямой. Пара сил стремится произвести вращение тела, к которому она приложена. Действие пары сил на тело характеризуется её моментом.
Для количественной характеристики действия пары сил на тело и указания направления, в котором пара сил стремится вращать тело, вводится понятие алгебраического момента пары сил .
Алгебраический момент пары сил – величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил на её плечо.
M = ± F 1 ·h = ± F 2 ·h.
Алгебраический момент пары сил считают положительным, если пара сил стремится повернуть тело против вращения часовой стрелки, и отрицательным, если в сторону вращения часовой стрелки. В системе СИ момент пары сил измеряется в Н·м.
На рис. 1. 35 изображена пара сил (F 1 , F 2), линии действия которых лежат в плоскости OXY.
Момент пары сил – векторная мера механического действия пары сил, равная моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы.
Момент пары сил изображается вектором М . Вектор момента М пары сил (F 1 , F 2) направлен перпендикулярно к плоскости действия пары сил в сторону, откуда видно пару сил, стремящуюся вращать плоскость её действия в сторону, противоположную вращению часовой стрелки. Согласно определению (см. рис. 1.35), M ^ j , M ^ i , M = F 1 ×h = F 2 ·h. Таким образом, пара сил полностью характеризуется её моментом M .
Теорема . Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их алгебраические моменты численно равны и одинаковы по знаку.
Доказательство этой теоремы несложно и здесь оно не приводится.
Следствия из теоремы:
1.Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно как угодно поворачивать и переносить в любое место плоскости её действия.
2.У пары сил можно изменять плечо и модуль силы, сохраняя при этом алгебраический момент пары и плоскость действия.
Суть теоремы и её следствий иллюстрируется рис. 1.36, на котором приведены пары сил с эквивалентными алгебраическими и векторными моментами. Плоскости действия пар сил совпадают с плоскостью YOZ.
Теорема . Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.
Доказательство этой теоремы также достаточно просто и здесь не приведено.
Из теорем о парах сил следует вывод: не изменяя действия пары сил на тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости её действия, а также изменять её силу и плечо, сохраняя неизменными модуль и направление её момента.
Таким образом, вектор момента пары сил можно переносить в любую точку, то есть момент пары сил является свободным вектором .
Вектор момента пары сил определяет три элемента: положение плоскости действия пары; направление вращения; числовое значение (модуль) момента.
Отметим аналогию: если точку приложения вектора силы можно помещать где угодно на линии действия этой силы (скользящий вектор ), то векторный момент пары сил можно приложить в любой точке тела (свободный вектор ).